§1.11 闭区间上连续函数的性质

如果函数在开区间内连续，在右端点左连续，在左端点右连续，那未函数就在闭区间上连续。

一、最大值与最小值定理

先介绍最大值与最小值概念：

对于区间上有定义的函数，如果有，使得对于任一都有

则称是函数在区间上的最大值(最小值)。

【定理一】(最大值和最小值定理)

在闭区间上连续的函数一定取得最大值和最小值。

这一定理在几何上是十分显然的。

设想有一条有弹性的弦，两个端点固定，呈水平地放置在坐标系中；若它上面的两点受到方向相反的两个力的作用，则产生形变，成为一条有高低起伏的曲线。

显然，C点与D点的纵坐标分别是曲线所代表的函数的最大值与最小值。

最值存在定理中的两个条件：(1)、闭区间,(2)、连续缺一不可，否则结论不成立。

根据定理一，下面的定理二，几乎是一望便知的事实。

【定理二】( 有界性定理 )

在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界。

为了介绍闭区间上连续函数十分常用零点定理，先引入一个概念：

如果使， 则称 为函数的一个零点。

事实上，也可以看成函数方程 的一个根。

【定理三】( 零点定理 )

设在闭区间上连续，且与异号(即)， 则在开区间内至少有函数的一个零点，即存在点，使

零点定理的几何意义十分显然， 它表明：

若连续曲线弧的两个端点位于轴的不同侧，则曲线弧与轴至少有一个交点。

利用这一思想，可用计算机作图来观察方程是否有实数根，有几个实根；若有实根，其实根所处的大致位置。

下面我们用 matlab 来介绍几个实例。具体做法是：将函数与直线作在同一个图上，观察它们是否相交。

【例1】判断方程 在是否有根?

解：利用MATLAB，作函数的图形

从图形上可看出，函数在[-2，2]之间确有两个零点。其作图程序如下：

x=-2:0.0005:2;

y=x.^2+x-1;

plot(x,y,'*')

hold

plot([-2,2],[0,0],'r')

plot([0,0],[-2,5],'r')

【例2】判断方程 有几个实数根。

解：利用MATLAB，作函数的图形

从图形上可看出，函数在[-1，1]之间确有两个零点。其作图程序如下：

x=-4:0.0005:4;

y=exp(-x.^2)-0.5;

plot(x,y,'*')

hold

plot([-4,4],[0,0],'r')

plot([0,0],[-0.5,0.5],'r')

【定理4】( 介值定理 )

设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同的函数值

及

那末，对于与之间的任意一个数，在开区间内至少有一点，

使得

这定理的几何意义是：

连续曲线弧与水平直线至少相交于一点。

证明：设， 则在闭区间上连续，且

与

异号。据零点定理，开区间内至少有一点使得

但，因此由上式即得

【推论】

闭区间上的连续函数必取得介于最大值 M 与最小值 m 之间的任何值。

【例3】给定一元三次方程

1、说明该方程在内至少有一个根；

2、利用计算机作图，说明该方程根的大致位置；

3、用计算方法中的“两分法”求此根近似值(精确到小数点后2位)。

解：函数 在闭区间 上连续，又

，

根据零点定理，在(0，1)内至少有一点，使得

即

故方程在区间(0，1)内至少有一个根。

下面作出函数在上的图象。

x=-1:0.0005:4;

y=x.^3-4*x.^2+1;

plot(x,y,'*')

hold

plot([-1,4],[0,0],'r')

plot([0,0],[-10,2],'r')

从图象可看出，函数在(0，1)间有一个零点，大约在0.5附近。但较为精确地给出该根却是作图无法企及的。

利用零点定理的原理，采用下面介绍的两分法来解决这一问题。

注1：课堂上的两分法演示(做四次 )

具体做法：

1、建立一个函数文件f.m，存放在盘符X：\matlab\bin下

function y=f(x)

y=x^3-4*x^2+1;

2、在命令窗口下键入命令示意图

注2：真正的两分法程序为gs0107.m

注3：利用matlab内部函数，可以直接求出根

c=[1，-4，0，1]

roots(c)

输出结果为：3.9354 0.5374 -0.4728

【例4】试证明有且只有一个实根。

证明：设，它是在上连续的初等函数。

而

同理

利用函数的保号性：

必存在两个充分大的正数

使得

在闭区间 上利用零点定理，至少存在一点，使得

即：方程至少有一个实根。

(下面来证明，函数的零点是唯一的)

假设函数存在两个互异的零点，则有

于是有

而，故

另一方面

产生矛盾。

故：只有唯一零点，方程 只有唯一实根。